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  胡翌霖

  提到文艺复兴时期的著名数学家韦达,当代中学生恐怕对他的大名并不陌生。因为在中学数学中经常用到的一元二次方程的“求根公式”,就叫“韦达定理”。

  韦达定理的推导似乎并不难,事实上一个学过初学代数的中学生就足以完成这一推导——对于任意形如ax2+bx+c=0的方程,只要把方程左边化为(x-x1)(x-x2)=0的形式,x1和x2就是两个根了,说白了也就是几步四则运算罢了。

  但是,为什么这样一个简单的推导,竟要等到16世纪才由韦达完成呢?古代的数学家难道不会解方程吗?

  韦达的这个方程,古代数学家还真的不会解。韦达之所以被称作现代代数学之父,他最伟大的贡献并不是在于给出了方程的根的通式,而是给出了方程本身的通式。这一创造标志着现代数学对古代数学完成了最大的颠覆。

  在“代数之父”花拉子米那里,他的代数学著作通篇都是文字与图形,并没有使用符号来表达的式子,甚至连他自己引入的阿拉伯数字,也极少使用。所以韦达的工作,还建立在对缩写符号的普遍应用之上。这一工作一方面是基于对古希腊数学家丢番图著作的重新阐释,另一方面也依赖于欧洲中世纪以来商人传统下各种运算符号的发明和普及。而韦达作为科学家,并不像商人那样,只是把缩写符号当作一种便利的手段,他追求的是科学的目标:普遍性。因此他进一步发扬了符号的应用,完成了最后这临门一脚——用符号来表示已知数。

  用符号来表示未知数的做法早已有之,但用符号指代已知量的做法显得更曲折一些。

  广义上讲,早在欧几里德时,就会用ab表示a点到b点之间的线段,在中世纪数学家那里,有时会更简略地用b表示线段AB。但线段a和系数a还不是一回事,用a表示一条线段,因为前者是一个具体的对象,或者说是一段有确定长度的量,而后者是一个纯粹的“数”,没有单位的“数”。于是这里我们就遇到了韦达工作的又一项标志性的意义:把古希腊以来数学家坚持明确区分的数与量给混同了,并把量的同类性原则消解掉了。

  一个数可以加上另一个数,这是基本的算术运算,但一个量并不总是能加上另一个量。比如说,我们用a表示一条线段,b指代一个面积,那么a+b是什么意思呢?一条线段怎么能和一块面积相加呢?也就是说,只有同类的量在特定的语境下才是可以相加的,这种量的运算的同类性原则,在韦达本人那里仍然顽固地保留着,在x3+ax=b这样的方程中,韦达把a称作“面”,把b称作“体”。但事实上,当我们用a、b、c这些中性的字母来表达它们时,它们就被直接称作“a”或“b”,而没有人再去纠结它们实质上是“a面”还是“a体”的问题了。最终在笛卡尔那里,通过引入“单位1”,同类性原则被彻底打破,这是后话了。

  韦达符号代数的建立,意义不仅在于改变了人们解方程的方法,更重要的是,改变了人们对于数学与现实关系的理解。人们自古以来就善于运用各种抽象符号,文字本身就是一种抽象符号。但在古代,抽象符号的意义始终附着于被抽象物本身,当人们对抽象符号进行运算的时候,心目中想的始终还是被抽象物之间的关系,符号只是一种方便言说的缩写代号,当人们进行数学运算时,其实是在通过符号,求解某些现实事物之间的关系。所以人们对于符号背后究竟指代的是什么,总是非常谨慎的。

  比如负数、无理数、虚数之类的东西,它们作为抽象符号,被抽象的那个现实的事物究竟是什么呢?这些问题直到20世纪也没有完全争论清楚。然而在符号代数的视野下,符号不再总是被用来指代一个具体的量,而是可以指代一个“一般的数”。数本身没有任何具体性,而是完全中性的,没有单位或量纲。于是,人们可以把某个方程究竟有什么现实意义这一问题搁置一边,而专注于演算符号之间的运算规则。

  这样我们才能够理解,为什么一个现代小学生就可以轻松地理解“负数”的概念,而古代最伟大的数学家却理解不了。这是因为思考的方向完全不同,他们的出发点是现实的事物及其关系,而我们的出发点的是符号及其运算规则。

  在某种意义上说,韦达标志着数学从古老的自然哲学传统中独立出来,成为一个自圆其说的符号系统。与同样与传统割裂的力学一样,现代数学是用合法性(合规则性)取代了对合理性的诉求。

  (作者系清华大学科技史系助理教授)

原标题:光明网:煎饼馃子分会成立,与煎饼馃子无关

如果有人和你说,北京成立了一个豆汁儿协会,你可能根本不会在乎,因为你从来没喝过,也不想喝;没准,你还会想,即使臭豆腐协会成立又与我何干!可是,如果有人和你说,米饭协会也成立了,不仅成立,而且还制定了“正宗米饭”的标准,该标准将蛋炒饭等在白米饭里加料的米饭一律排除在米饭之外;不仅如此,米饭是否“正宗”,都要由该协会来认定;不过,认定的前提嘛,嘿嘿,你懂的,先交入会费再说……这个时候,会做或不会做米饭、但总归吃过米饭的你,会怎么想呢?

不管你怎么想,反正有人就是这么想了。当然,现实世界里的事例远没有那么极端。今天(3月19日)有媒体报道说,天津市餐饮行业协会成立了“煎饼馃子分会”。该会会长告诉记者,他们将制定团体标准,让更多的从业者有标可依,按标作业。针对行业现状,该会会长表示,市面上不少加了火腿、辽参等五花八门配料的煎饼馃子并不正宗,天津本地人基本上都不会买。

什么是“正宗”的煎饼馃子?“天津本地人”都买的煎饼馃子就是正宗的煎饼馃子?上述报道称,天津一家老字号煎饼馃子第五代传人说,他的煎饼馃子手艺起源于1912年,他表示分会成立之后,会对这个行业的规范和发展起到推动性作用。如果煎饼馃子起源于1912年的话,那么,煎饼这东西起源于哪里却未见考证。除了硬性指定,可能也考证不了。不过,不论煎饼起源于山东还是天津抑或其他什么地方,第一张煎饼的诞生恐怕要早于1912年吧。可以肯定是,至今为止,人们从未闻听自称是煎饼的传人或常吃煎饼的人声讨煎饼馃子不是正宗的煎饼,也从未听过说什么地方的人只吃正宗煎饼而对加了料的煎饼馃子“基本上都不会买”。

正像制作煎饼馃子的人不会去征得制作煎饼的人同意之后再进行合成性创新一样,制作不正宗煎饼馃子的人也同样不会去征得制作正宗煎饼馃子的人同意之后再往煎饼馃子里加火腿、辽参等五花八门配料进行集成性创新。制作“煎饼馃子分会”认定的不正宗的煎饼馃子的人,才不在乎“煎饼馃子分会”所谓的正宗与否呢,他在乎的是加了五花八门配料的煎饼馃子是否卖得出去;他甚至也不会在乎买这些加了五花八门配料的煎饼馃子的人是否为“天津本地人”,而只在乎买的人是否足够多以致能回本赚钱。

这就说明,如果天津市餐饮行业协会“煎饼馃子分会”的成立,与煎饼馃子的市场无涉,那么,那些在煎饼馃子里加火腿、辽参等五花八门配料、制作“煎饼馃子分会”认定的不正宗煎饼馃子的人,大可不必在意这个分会的存在与否。但是,如果这个分会由认定煎饼馃子的正宗与否始,像“全国牙防组”那样,给这个品牌发个证,给那个产品颁个奖,俨然产品评价机构,变相设立市场门槛,终以敛取会费为实际目的,那么,这样组织的存在就有碍于市场的建构和发育。

“煎饼馃子分会”会长向记者介绍了加入这个分会的办法:“……副会长单位以上500元一年,会员单位300元一年。”“入会以后我们颁发会员证,摊主在制作煎饼的时候需要把标牌戴上,还会统一穿着围裙、帽子和口罩等。”这样的入会办法的确一目了然,除了会长单位没有明码标价外,还没有交待清楚的是,那些在配料、工艺上一直符合正宗煎饼馃子标准,但又不愿意花钱入会的人制作的煎饼馃子,是否还属于正宗的煎饼馃子。

来源:光明网

责任编辑:张玉

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